Il teorema di Fermat

La discesa infinita è un metodo dimostrativo per assurdo, usato nella teoria dei numeri e applicabile nel caso di proprietà valide soltanto per gli interi positivi. Il metodo permette di affermare che: se una determinata proprietà è soddisfatta da un numero intero positivo, essa non può essere soddisfatta da un numero intero positivo più piccolo. In altri termini, alcune proprietà o relazioni, se applicate ai numeri interi positivi, sono impossibili. Infatti, supposto che siano valide per qualsiasi numero esse dovrebbero essere valide per numeri più piccoli, da ciò, per numeri ancora più piccoli, e così via all’infinito. Ma tale processo non può essere applicato ai numeri interi positivi in quanto essi non possono decrescere per un’infinità di successivi passaggi. In breve: se vogliamo dimostrare che una certa proposizione p è falsa, si suppone che essa sia vera per un certo n, se è valida anche per un m < n allora la proposizione p è sempre falsa; infatti, ripetendo il ragionamento, esisterebbe un altro numero k < m < n per cui la p risulterebbe vera, ma questo è un assurdo e quindi la p è falsa. Come vedremo più avanti, questo tipo di ragionamento fu inventato da Pierre de Fermat per dimostrare il caso particolare n = 4 del suo famoso teorema.

Dall’Introduzione di Rolando Zucchini