Formulazione degli spazi fondamentali

Il calcolo di Newton è un calcolo basato sulla velocità, quello di Leibniz su infinitesimi. “In matematica gli infinitesimi sono delle entità numeriche infinitamente piccole, introdotte da Gottfried Leibniz che ne fece il fondamento del calcolo infinitesimale.

Gli infinitesimi permettono di risolvere in modo generale problemi come quello della velocità istantanea in fisica e quello della tangente a una curva in geometria, entrambe viste come rapporto tra infinitesimi, alias derivata.

Anche il problema del calcolo di aree con contorno curvilineo, ovvero dell'area sottesa al grafico di una funzione, si affronta con l'uso degli infinitesimi. L'area è infatti vista come la somma di infinite aree infinitesime, un procedimento di somma che ebbe il nome di integrale.

Gli infinitesimi davano però luogo a problemi logici e nel XIX secolo Augustin-Louis Cauchy e Karl Weierstrass rifondarono l'analisi matematica eliminandone ogni riferimento; derivate e integrali venivano così ad essere definiti come limiti e non come rapporti o somme di entità infinitesime.

Nella seconda metà del XX secolo gli infinitesimi sono stati recuperati, in una prospettiva rigorosa, da Abraham Robinson, nella formulazione di quella che lui chiamò analisi non standard”.